\subsection{平面直角坐标系}\label{subsec:14-1}

我们知道，在直线上规定了原点、正方向和单位长度，就构成了数轴。
在数轴上，每一个点的位置都能用一个实数来表示，这个实数叫做这个点\zhongdian{在数轴上的坐标}。
那么，用什么方法表示平面内点的位置呢？

要在一块矩形板上钻一个孔，只要给出孔的中心到板的左边的距离 $30$ 毫米和到下边的距离 $20$ 毫米（图 \ref{fig:14-1}），
孔心 $M$ 的位置就确定了。可见，用两个实数就可以表示平面内点的位置。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{6cm}
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    \input{../pic/czds4-ch14-1}
    \caption{}\label{fig:14-1}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-2}
    \caption{}\label{fig:14-2}
    \end{minipage}
\end{figure}

在平面内画两条互相垂直而且有公共原点 $O$ 的数轴 $x'x$ 和 $y'y$（图 \ref{fig:14-2}）。
$x'x$ 通常画成水平的，叫做 \zhongdian{$\bm{x}$ 轴} 或 \zhongdian{横轴}，取向右的方向为正方向；
$y'y$     画成铅直的，叫做 \zhongdian{$\bm{y}$ 轴} 或 \zhongdian{纵轴}，取向上的方向为正方向。
两条数轴上的单位长度一般取相同的。$x$ 轴和 $y$ 轴统称 \zhongdian{坐标轴}，$O$ 叫做\zhongdian{坐标原点}。
这样，在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了\zhongdian{平面直角坐标系}，在本书中简称\zhongdian{坐标系}。
建立了坐标系的平面，叫做\zhongdian{坐标平面}。

$x$ 轴和 $y$ 轴把坐标平面分成四个部分 $xOy$， $yOx'$， $x'Oy'$， $y'Ox$，
依次叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
象限以两轴为界限，$x$ 轴、$y$ 轴上的点不在任一象限内。

在平面内建立了直角坐标系以后，对于平面内的任意一点，都有一对有序实数和它对应。例如，对于点 $M$（图 \ref{fig:14-3}），
  经过点 $M$ 画 $x$ 轴的垂线，垂足为 $M_1$，点 $M_1$ 在 $x$ 轴上的坐标是 $3$；
再经过点 $M$ 画 $y$ 轴的垂线，垂足为 $M_2$，点 $M_2$ 在 $y$ 轴上的坐标是 $2$。
这样，点 $M$ 就有一对坐标 $3$，$2$ 和它对应。
我们把 $3$ 叫做点 $M$ 的 \zhongdian{横坐标}，$2$ 叫做点 $M$ 的\zhongdian{纵坐标}，
合起来叫做点 \zhongdian{$\bm{M}$ 在平面内的坐标}，记作 $M(3,\, 2)$，
其中横坐标规定写在纵坐标的前面，中间用逗号隔开。
这就是说，点 $M$ 在平面内的坐标是一对有序实数（叫做一个\zhongdian{有序实数对}）。
在图 \ref{fig:14-3} 中，点 $N$ 的坐标是 $(2, 3)$，记作 $N (2,\, 3)$。
从图中我们可以看到，$M$ 与 $N$ 是坐标平面内不同的两个点，
和它们对应的 $(3,\, 2)$ 与 $(2,\, 3)$ 是两对不同的有序实数，
因此它们具有不同的坐标。

想一想，图 \ref{fig:14-3} 中点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标各是什么。

\begin{figure}[htbp]
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  \begin{minipage}{6cm}
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  \input{../pic/czds4-ch14-3}
  \caption{}\label{fig:14-3}
  \end{minipage}
  \qquad
  \begin{minipage}{8cm}
  \centering
  \input{../pic/czds4-ch14-4}
  \caption{}\label{fig:14-4}
  \end{minipage}
\end{figure}

反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应，这个点在平面内的坐标就是这一对有序实数。
例如，给出有序实数对 $(-3,\, -2)$，我们就可以
经过 $x$ 轴上坐标为 $-3$ 的点画 $x$ 轴的垂线，
经过 $y$ 轴上坐标为 $-2$ 的点画 $y$ 轴的垂线，
这两条线的交点 $A$ 就是和有序实数对 $(-3,\, -2)$ 对应的点（图 \ref{fig:14-4}）。
同样，和有序实数对 $(3,\, 2)$， $(2.5,\, -1)$，$(-2,\, 0)$， $(0,\, 0)$ 对应的点分别是 $B$，$C$，$D$，$O$。

从上面我们看到：对于坐标平面内任意一点 $M$，都有一对有序实数 $(x,\, y)$ 和它对应；
反过来，对于任意一对有序实数 $(x,\, y)$，在坐标平面内都有一点 $M$ 和它对应。
因此，坐标平面内所有的点与所有有序实数对之间是一一对应的。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{写出图中 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$，$H$，$O$ 各点的坐标。}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \input{../pic/czds4-ch14-lianxi-1}
  \caption*{（第 1 题）}
\end{figure}


\xiaoti{在直角坐标系中描出下列各点：\\
    $A(3,\, 6)$， $B(-1.5,\, 3.5)$， $C(-4,\, -1)$， $D(2,\, -3)$，
    $E(3,\, 0)$， $F(-2,\, 0)$， $G(0,\, 5)$， $H(0,\, -4)$。
}

\end{xiaotis}
\lianxijiange


\liti 在坐标平面内，

(1) $x$ 轴上的点的纵坐标有什么特点？

(2) $y$ 轴上的点的横坐标有什么特点？

\jie (1) 如图 \ref{fig:14-5}， 在轴上任取一点 $P$。经过点 $P$ 画 $y$ 轴的垂线，垂足是原点 $O(0, 0)$。
点 $O$ 在 $y$ 轴上的坐标是 $0$， 所以点 $P$ 的纵坐标是 $0$。
这就是说，$x$ 轴上的点的纵坐标都是 $0$。

(2) 同理可知，$y$ 轴上的点的横坐标都是 $0$。

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \begin{minipage}{6cm}
  \centering
  \input{../pic/czds4-ch14-5}
  \caption{}\label{fig:14-5}
  \end{minipage}
  \qquad
  \begin{minipage}{8cm}
  \centering
  \input{../pic/czds4-ch14-6}
  \caption{}\label{fig:14-6}
  \end{minipage}
\end{figure}

\liti 如图 \ref{fig:14-6}， 已知正方形 $ABCD$ 的边长等于 $4$，求四个顶点的坐标。

\jie 四个顶点的坐标分别为

\hspace*{1.5em} $A(0,\, 0)$， $B(4,\, 0)$， $C(4,\, 4)$， $D(0,\, 4)$。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{写出例 2 中正方形的各边中点的坐标。}

\xiaoti{已知正方形的边长等于 $4$，对角线的交点在原点，边与坐标轴平行，求它的各顶点的坐标。}

\xiaoti{已知点 $P$ 的坐标是 $(5,\, -3)$，分列写出 $P$ 点关于 $x$ 轴、$y$轴和原点对称的点的坐标。}

\xiaoti{以点 $(3,\, 0)$ 为圆心，以 $5$ 为半径画一圆，写出圆与坐标轴交点的坐标。}

\end{xiaotis}

